5257. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Ovde su treći koreni, pa koristimo $A-B=\frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2} ,$ sa $A=\sqrt[3]{(x+1)^2}$ i $B=\sqrt[3]{(x-1)^2} .$ Brojilac postaje:

A^3-B^3=(x+1)^2-(x-1)^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x

Imenilac je $A^2+AB+B^2=\sqrt[3]{(x+1)^4}+\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^4}$ ; svaki sabirak raste približno kao $x^{\frac43} .$ Delimo brojilac i imenilac sa $x^{\frac43}$ (pod trećim korenom to je deljenje sa $x^4$ ):

\frac{4x}{A^2+AB+B^2}=\frac{\frac{4}{\sqrt[3]x}}{\sqrt[3]{\left(1+\frac1x\right)^4}+\sqrt[3]{\left(1-\frac1{x^2}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(1-\frac1x\right)^4}}

Brojilac $\frac{4}{\sqrt[3]x}$ teži nuli, a imenilac broju $1+1+1=3 :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{4}{\sqrt[3]x}}{3}=0

Vrednosti teže nuli sporo (kao $\frac{4}{3\sqrt[3]x}$ ), pa u proveri uzimamo veoma velike brojeve.

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=1000:\ f(x)\approx0{,}1333 \\ x=1\cdot10^{6}:\ f(x)\approx0{,}0133 \\ x=1\cdot10^{9}:\ f(x)\approx0{,}0013\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{(x+1)^2}-\sqrt[3]{(x-1)^2}\right)=0 .$

Započni učenje

Online časovi

124.ž

Beleške