5254. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Množimo i delimo sa $\sqrt{(x+a)(x+b)}+x .$ Izraz pod korenom je $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab :$

\sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\frac{x^2+(a+b)x+ab-x^2}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}=\frac{(a+b)x+ab}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}

Delimo brojilac i imenilac sa $x$ (pod korenom sa $x^2$ ):

\lim_{x\to+\infty}\frac{a+b+\frac{ab}x}{\sqrt{1+\frac{a+b}x+\frac{ab}{x^2}}+1}=\frac{a+b}{1+1}=\frac{a+b}2

Provera za $a=2 ,$ $b=5 :$ za $x=1000$ je $\sqrt{1002\cdot1005}-1000\approx3{,}499 ,$ a formula daje $\frac{7}{2}=3{,}5 .$

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}2 .$

Započni učenje

Online časovi

124.e

Beleške