5255. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Množimo i delimo sa $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}+\sqrt x .$ U brojiocu ostaje razlika izraza pod korenima, a $x$ se poništi:

\frac{\left(x+\sqrt{x+\sqrt x}\right)-x}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}+\sqrt x}=\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}+\sqrt x}

Brojilac i imenilac rastu kao $\sqrt x ,$ pa delimo sa $\sqrt x$ (pod korenom sa $x$ ). Brojilac: $\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{\sqrt x}=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}} .$ Prvi sabirak imenioca: $\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}} ,$ gde je $\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}=\sqrt{\frac1x+\frac1{x\sqrt x}}\to0 :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac1{\sqrt x}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac1x+\frac1{x\sqrt x}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac12

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=100:\ f(x)\approx0{,}5113 \\ x=10000:\ f(x)\approx0{,}5012 \\ x=1\cdot10^{6}:\ f(x)\approx0{,}5001\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=\frac12 .$

Započni učenje

Online časovi

124.i

Beleške