5252. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Zagrada je oblika „ $\infty-\infty$ ”. Množimo i delimo sa $\sqrt{x^2+1}+x :$

x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\frac{x\left((x^2+1)-x^2\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}

Sada imamo oblik „ $\frac\infty\infty$ ”. Delimo sa $x$ ; kako je $x>0 ,$ pod korenom delimo sa $x^2 :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac12

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}4988 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}5 \\ x=1000:\ f(x)\approx0{,}5\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\frac12 .$

Započni učenje

Online časovi

124.g

Beleške