5250. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Pažnja: ovde $x\to-\infty ,$ pa je $x$ negativan broj. Tada je $-x$ pozitivan i veliki broj, a i $\sqrt{x^2+1}$ je pozitivan i veliki. Zagrada je zato zbir dva velika pozitivna broja — to nije neodređen oblik:

\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}+(-x)\to+\infty

Ceo izraz je proizvod negativnog broja $x$ (koji teži $-\infty$ ) i velikog pozitivnog broja, pa teži $-\infty .$ Na primer, za $x=-10 :$ $-10\left(\sqrt{101}+10\right)\approx-200{,}5 .$

x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\to(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=-10:\ f(x)\approx-200{,}4988 \\ x=-100:\ f(x)\approx-20000{,}5 \\ x=-1000:\ f(x)\approx-2\cdot10^{6}\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

124.d

Beleške