122.j

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo neodređeni izraz „$\frac00$”. Kada se u izrazu javljaju koreni, zajednički činilac koji pravi nulu „sakriven” je ispod korena. Izvlačimo ga racionalisanjem: množimo brojilac i imenilac istim izrazom tako da koreni nestanu. Koristimo formule $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ za kvadratne korene i $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 ,$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ za treće korene.

Uvrštavanjem $x=\frac{1}{27} :$ $\left(\frac1{27}\right)^{\frac13}=\frac13$ i $\left(\frac1{27}\right)^{\frac23}=\frac19 ,$ pa su brojilac i imenilac $0 .$ Uvedimo $t=x^{\frac13}$; tada je $x^{\frac23}=t^2 ,$ a kada $x\to\frac1{27} ,$ onda $t\to\frac13 .$

Smena u graničnoj vrednosti (pravilo iz gradiva): ako novu promenljivu $t$ izrazimo preko $x$ i ona teži broju $t_0$ kada $x\to x_0$ (pri čemu je $t\neq t_0$ za $x\neq x_0$), onda graničnu vrednost možemo računati po $t ,$ kada $t\to t_0 .$

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{1}{27}}\frac{x^{\frac23}-\frac19}{x^{\frac13}-\frac13}=\frac23 .$