5236. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Uvrštavanjem $x=1$ oba korena su $1 ,$ pa dobijamo $\frac00 .$ Da bismo se oslobodili oba korena odjednom, uvodimo smenu $x=t^{mn} ,$ tj. $t=\sqrt[mn]{x} .$ Tada je $\sqrt[n]x=t^m$ i $\sqrt[m]x=t^n ,$ a kada $x\to1 ,$ onda $t\to1 .$

Smena u graničnoj vrednosti (pravilo iz gradiva): ako novu promenljivu $t$ izrazimo preko $x$ i ona teži broju $t_0$ kada $x\to x_0$ (pri čemu je $t\neq t_0$ za $x\neq x_0$ ), onda graničnu vrednost možemo računati po $t ,$ kada $t\to t_0 .$

Koristimo formulu $t^k-1=(t-1)(t^{k-1}+t^{k-2}+\dots+t+1)$ (npr. $t^2-1=(t-1)(t+1) ,$ $t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$ ):

\frac{t^m-1}{t^n-1}=\frac{(t-1)(t^{m-1}+\dots+t+1)}{(t-1)(t^{n-1}+\dots+t+1)}

Skraćujemo $t-1$ i uvrštavamo $t=1 :$ u brojiocu ostaje zbir od $m$ jedinica, a u imeniocu od $n$ jedinica:

\lim_{t\to1}\frac{t^{m-1}+\dots+t+1}{t^{n-1}+\dots+t+1}=\frac{\overbrace{1+\dots+1}^{m}}{\underbrace{1+\dots+1}_{n}}=\frac mn

Provera za $n=2 ,$ $m=3 ,$ $x=1{,}001 :$ $\frac{\sqrt{1{,}001}-1}{\sqrt[3]{1{,}001}-1}\approx1{,}5 ,$ a formula daje $\frac32 .$

Rešenje: $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}=\frac mn .$

Započni učenje

Online časovi

122.s

Beleške