5237. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac00$ ”. Kada se u izrazu javljaju koreni, zajednički činilac koji pravi nulu „sakriven” je ispod korena. Izvlačimo ga racionalisanjem: množimo brojilac i imenilac istim izrazom tako da koreni nestanu. Koristimo formule $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ za kvadratne korene i $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 ,$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ za treće korene.

Uvrštavanjem $x=1 :$ $\sqrt[3]8-\sqrt4=2-2=0 ,$ imenilac $0 .$ Kao u zadatku m), dodamo i oduzmemo $2$ i razlomak rastavimo na dva:

\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}=\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{3+x^2}-2}{x-1}

Prvi razlomak: sa $A=\sqrt[3]{7+x^3}$ je $A-2=\frac{A^3-8}{A^2+2A+4}=\frac{x^3-1}{A^2+2A+4} ,$ a $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) .$ Skraćujemo $x-1$ ; kada $x\to1 ,$ $A\to2 :$

\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{A^2+2A+4}=\frac{3}{4+4+4}=\frac14

Drugi razlomak: množimo sa $\sqrt{3+x^2}+2 ,$ pa je brojilac $3+x^2-4=x^2-1=(x-1)(x+1) .$ Skraćujemo $x-1 :$

\lim_{x\to1}\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}+2}=\frac{2}{2+2}=\frac12

Po pravilu za razliku:

\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}=\frac14-\frac12=-\frac14

Provera brojevima, blizu tačke $1$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}999:\ f(x)\approx-0{,}25 \\ x=1{,}001:\ f(x)\approx-0{,}25\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}=-\frac14 .$

Započni učenje

Online časovi

122.t

Beleške