5238. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Najveći stepen u imeniocu je $x^1 ,$ pa brojilac i imenilac delimo sa $x .$ Svaki član delimo posebno: $\frac xx=1 ,$ $\frac2x ,$ $\frac{2x}{x}=2 ,$ $\frac1x :$

\frac{x+2}{2x+1}=\frac{1+\frac2x}{2+\frac1x}

Kada $x\to\infty ,$ razlomci $\frac2x$ i $\frac1x$ teže nuli, pa po pravilu za količnik:

\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac2x}{2+\frac1x}=\frac{1+0}{2+0}=\frac12

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}5714 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}5075 \\ x=1000:\ f(x)\approx0{,}5007\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{2x+1}=\frac12 .$

Započni učenje

Online časovi

123.a

Beleške