5243. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

I razlomak i $x$ rastu neograničeno, pa najpre svodimo na zajednički imenilac $x^2-1 .$ Član $x^3$ se poništi:

\frac{x^3-2x^2}{x^2-1}-x=\frac{x^3-2x^2-x(x^2-1)}{x^2-1}=\frac{x^3-2x^2-x^3+x}{x^2-1}=\frac{-2x^2+x}{x^2-1}

Sada delimo brojilac i imenilac sa $x^2 :$

\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\frac1x}{1-\frac1{x^2}}=\frac{-2+0}{1-0}=-2

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx-1{,}9192 \\ x=100:\ f(x)\approx-1{,}9902 \\ x=1000:\ f(x)\approx-1{,}999\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3-2x^2}{x^2-1}-x\right)=-2 .$

Započni učenje

Online časovi

123.g

Beleške