5245. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Najveći stepen u imeniocu je $x^4 ,$ pa brojilac i imenilac delimo sa $x^4 :$

\frac{x^3+x}{x^4-3x^2+1}=\frac{\frac1x+\frac1{x^3}}{1-\frac3{x^2}+\frac1{x^4}}

Brojilac teži nuli, a imenilac broju $1 :$

\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x+\frac1{x^3}}{1-\frac3{x^2}+\frac1{x^4}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0

Napomena: kod količnika polinoma dovoljno je posmatrati članove sa najvećim stepenom, jer ostali postaju zanemarljivi. Ovde je to $\frac{x^3}{x^4}=\frac1x\to0 :$ imenilac ima veći stepen, pa „pobeđuje”.

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}1041 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}01 \\ x=1000:\ f(x)\approx0{,}001\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+x}{x^4-3x^2+1}=0 .$

Započni učenje

Online časovi

123.v

Beleške