5240. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Oba razlomka se ponašaju približno kao $\frac32x ,$ pa je ovo zapravo oblik „ $\infty-\infty$ ”. Svodimo na zajednički imenilac $4x^2(2x+1) .$ Najpre pomnožimo $(2x-1)(2x+1)=4x^2-1 :$

\frac{3x^2\cdot4x^2-(4x^2-1)(3x^2+x+2)}{4x^2(2x+1)}

Množimo zagrade u brojiocu: $(4x^2-1)(3x^2+x+2)=12x^4+4x^3+8x^2-3x^2-x-2=12x^4+4x^3+5x^2-x-2 .$ Član $12x^4$ se poništi:

\frac{12x^4-12x^4-4x^3-5x^2+x+2}{8x^3+4x^2}=\frac{-4x^3-5x^2+x+2}{8x^3+4x^2}

Delimo brojilac i imenilac sa $x^3 :$

\lim_{x\to\infty}\frac{-4-\frac5x+\frac1{x^2}+\frac2{x^3}}{8+\frac4x}=\frac{-4}{8}=-\frac12

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx-0{,}5343 \\ x=100:\ f(x)\approx-0{,}5037 \\ x=1000:\ f(x)\approx-0{,}5004\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2}\right)=-\frac12 .$

Započni učenje

Online časovi

123.d

Beleške