5241. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

I brojilac i imenilac su polinomi četvrtog stepena, pa delimo sa $x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x .$ Zgodno je svaki od četiri činioca brojioca podeliti sa $x ,$ a u imeniocu $(2x+5)^4$ podeliti sa $x^4$ znači podeliti $2x+5$ sa $x :$

\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(2x+5)^4}=\frac{\left(1-\frac1x\right)\left(1-\frac2x\right)\left(1-\frac3x\right)\left(1-\frac4x\right)}{\left(2+\frac5x\right)^4}

Svaka zagrada u brojiocu teži broju $1 ,$ a zagrada u imeniocu broju $2 :$

\lim_{x\to\infty}\frac{\left(1-\frac1x\right)\left(1-\frac2x\right)\left(1-\frac3x\right)\left(1-\frac4x\right)}{\left(2+\frac5x\right)^4}=\frac{1\cdot1\cdot1\cdot1}{2^4}=\frac1{16}

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}0077 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}0512 \\ x=1000:\ f(x)\approx0{,}0613\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(2x+5)^4}=\frac1{16} .$

Započni učenje

Online časovi

123.đ

Beleške