5242. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Ovde najveći „stepen” određujemo procenom: $\sqrt{x^2+1}\approx x ,$ $\sqrt x=x^{\frac12} ,$ $\sqrt[4]{x^3+x}\approx x^{\frac34} .$ Najbrže raste $x ,$ pa delimo brojilac i imenilac sa $x .$ Kako je $x>0 ,$ deljenje sa $x$ unosimo pod koren kao deljenje sa $x^2 ,$ odnosno sa $x^4$ pod četvrti koren:

\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{1+\frac1{x^2}}, \quad \frac{\sqrt x}{x}=\sqrt{\frac1x}, \quad \frac{\sqrt[4]{x^3+x}}{x}=\sqrt[4]{\frac1x+\frac1{x^3}}

Zato je:

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+\sqrt{\frac1x}}{\sqrt[4]{\frac1x+\frac1{x^3}}-1}=\frac{1+0}{0-1}=-1

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=100:\ f(x)\approx-1{,}6088 \\ x=10000:\ f(x)\approx-1{,}1222 \\ x=1\cdot10^{8}:\ f(x)\approx-1{,}0102\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}=-1 .$

Započni učenje

Online časovi

123.e

Beleške