5247. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Procena rasta: $\sqrt{x^2+1}\approx x ,$ $\sqrt[3]{x^2+1}\approx x^{\frac23} ,$ $\sqrt[4]{x^4+1}\approx x ,$ $\sqrt[5]{x^4+1}\approx x^{\frac45} .$ Najbrže raste $x ,$ pa delimo sa $x$ ; pod korenom reda $k$ to je deljenje sa $x^k :$

\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}, \quad \frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}=\sqrt[3]{\frac1x+\frac1{x^3}}, \quad \frac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}=\sqrt[4]{1+\frac1{x^4}}, \quad \frac{\sqrt[5]{x^4+1}}{x}=\sqrt[5]{\frac1x+\frac1{x^5}}

Zato je:

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}-\sqrt[3]{\frac1x+\frac1{x^3}}}{\sqrt[4]{1+\frac1{x^4}}-\sqrt[5]{\frac1x+\frac1{x^5}}}=\frac{1-0}{1-0}=1

Vrednosti se približavaju broju $1$ sporo, jer $\sqrt[3]{\frac1x}$ i $\sqrt[5]{\frac1x}$ sporo teže nuli; zato u proveri uzimamo veoma velike brojeve.

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=1000:\ f(x)\approx1{,}2019 \\ x=1\cdot10^{6}:\ f(x)\approx1{,}0567 \\ x=1\cdot10^{12}:\ f(x)\approx1{,}0039\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[4]{x^4+1}-\sqrt[5]{x^4+1}}=1 .$

Započni učenje

Online časovi

123.ž

Beleške