5246. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Brojilac je četvrti koren iz izraza drugog stepena, pa raste veoma sporo (približno kao $\sqrt[4]{x^2}$ ), a imenilac raste kao $x^2 ,$ dakle mnogo brže. Delimo sa $x^2$ ; pod četvrtim korenom deljenje sa $x^2$ je deljenje sa $x^8 :$

\frac{\sqrt[4]{x^2-2x+3}}{x^2+3x}=\frac{\sqrt[4]{\frac1{x^6}-\frac2{x^7}+\frac3{x^8}}}{1+\frac3x}

Brojilac teži nuli, a imenilac broju $1$ (isto i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$ ):

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[4]{\frac1{x^6}-\frac2{x^7}+\frac3{x^8}}}{1+\frac3x}=\frac01=0

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}0232 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}001 \\ x=1000:\ f(x)\approx3{,}15\cdot10^{-5}\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[4]{x^2-2x+3}}{x^2+3x}=0 .$

Započni učenje

Online časovi

123.z

Beleške