5206. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Uvrštavanjem $x=-4 :$ brojilac $16-16=0 ,$ imenilac $16-32+16=0 .$ Imamo oblik „ $\frac00$ ”, pa rastavljamo. Brojilac je razlika kvadrata, a imenilac kvadrat zbira ( $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ):

x^2-16=(x-4)(x+4), \qquad x^2+8x+16=(x+4)^2

Skraćujemo jedan činilac $x+4 :$

\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2}=\frac{x-4}{x+4}

Sada brojilac teži broju $-4-4=-8 ,$ a imenilac i dalje teži nuli. To više nije neodređen oblik: broj različit od nule delimo sve manjim brojem, pa vrednosti rastu neograničeno. Znak zavisi od strane sa koje prilazimo. Za $x<-4$ imenilac $x+4$ je negativan, pa je količnik pozitivan:

\begin{gathered}x=-4{,}1:\ f(x)\approx81 \\ x=-4{,}01:\ f(x)\approx801 \\ x=-4{,}001:\ f(x)\approx8001\end{gathered}

Za $x>-4$ imenilac je pozitivan, pa je količnik negativan:

\begin{gathered}x=-3{,}9:\ f(x)\approx-79 \\ x=-3{,}99:\ f(x)\approx-799 \\ x=-3{,}999:\ f(x)\approx-7999\end{gathered}

Sa leve strane vrednosti teže $+\infty ,$ a sa desne $-\infty .$ Granična vrednost bi morala da bude ista sa obe strane, pa ovde ne postoji (ni kao broj, ni kao $+\infty$ ili $-\infty$ ):

\lim_{x\to-4^-}\frac{x-4}{x+4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-4^+}\frac{x-4}{x+4}=-\infty

Rešenje: granična vrednost $\lim_{x\to-4}\frac{x^2-16}{x^2+8x+16}$ ne postoji; sa leve strane funkcija teži $+\infty ,$ a sa desne $-\infty .$ (Napomena: kada bi bilo $x\to4 ,$ dobili bismo $\frac{4-4}{4+4}=0 .$ )

Započni učenje

Online časovi

121.đ

Beleške