5207. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo izraz „ $\frac00$ ”. To nije broj, već takozvani neodređeni izraz: odgovor može biti bilo šta, i moramo da transformišemo funkciju. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli za $x=x_0 ,$ oba sadrže zajednički činilac koji je nula u $x_0$ (kod polinoma to je $x-x_0$ ). Taj činilac skratimo — to smemo, jer kod granične vrednosti uvek važi $x\neq x_0 ,$ pa činilac nije nula — i zatim ponovo uvrstimo $x_0 .$

Uvrštavanjem $x=-1 :$ brojilac $-1+1=0 ,$ imenilac $1-1=0 .$ Brojilac rastavljamo po formuli za zbir kubova $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ,$ a imenilac po formuli za razliku kvadrata:

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), \qquad x^2-1=(x-1)(x+1)

Skraćujemo $x+1$ i uvrštavamo $x=-1 :$

\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}=\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32

Provera brojevima, blizu tačke $-1$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-1{,}001:\ f(x)\approx-1{,}5008 \\ x=-0{,}999:\ f(x)\approx-1{,}4993\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}=-\frac32 .$

Započni učenje

Online časovi

121.e

Beleške