5203. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo izraz „ $\frac00$ ”. To nije broj, već takozvani neodređeni izraz: odgovor može biti bilo šta, i moramo da transformišemo funkciju. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli za $x=x_0 ,$ oba sadrže zajednički činilac koji je nula u $x_0$ (kod polinoma to je $x-x_0$ ). Taj činilac skratimo — to smemo, jer kod granične vrednosti uvek važi $x\neq x_0 ,$ pa činilac nije nula — i zatim ponovo uvrstimo $x_0 .$

Uvrštavanjem $x=1 :$ brojilac $1-4+3=0 ,$ imenilac $1+1-2=0 .$ Oba kvadratna trinoma rastavljamo na činioce. Za trinom $x^2+px+q$ tražimo dva broja čiji je zbir $-p ,$ a proizvod $q$ — to su njegove nule. Za brojilac: zbir $4 ,$ proizvod $3 ,$ dakle $1$ i $3 .$ Za imenilac: zbir $-1 ,$ proizvod $-2 ,$ dakle $1$ i $-2 :$

x^2-4x+3=(x-1)(x-3), \qquad x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Skraćujemo zajednički činilac $x-1$ (za $x\neq1$ on nije nula) i zatim uvrštavamo $x=1 :$

\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+2)}=\lim_{x\to1}\frac{x-3}{x+2}=\frac{1-3}{1+2}=-\frac23

Provera brojevima, blizu tačke $1$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}999:\ f(x)\approx-0{,}6672 \\ x=1{,}001:\ f(x)\approx-0{,}6661\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to1}\frac{x^2-4x+3}{x^2+x-2}=-\frac23 .$

Započni učenje

Online časovi

121.a

Beleške