121.b

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo izraz „$\frac00$”. To nije broj, već takozvani neodređeni izraz: odgovor može biti bilo šta, i moramo da transformišemo funkciju. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli za $x=x_0 ,$ oba sadrže zajednički činilac koji je nula u $x_0$ (kod polinoma to je $x-x_0$). Taj činilac skratimo — to smemo, jer kod granične vrednosti uvek važi $x\neq x_0 ,$ pa činilac nije nula — i zatim ponovo uvrstimo $x_0 .$

Uvrštavanjem $x=3 :$ brojilac $18-15-3=0 ,$ imenilac $27-21-6=0 .$ Kako je $3$ nula oba trinoma, oba su deljiva sa $x-3 .$ Drugu nulu nalazimo formulom $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} .$ Za brojilac: $x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5\pm7}{4} ,$ tj. $3$ i $-\frac12 .$ Za imenilac: $x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49+72}}{6}=\frac{7\pm11}{6} ,$ tj. $3$ i $-\frac23 .$

Rešenje: $\lim_{x\to3}\frac{2x^2-5x-3}{3x^2-7x-6}=\frac{7}{11} .$