5215. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo izraz „ $\frac00$ ”. To nije broj, već takozvani neodređeni izraz: odgovor može biti bilo šta, i moramo da transformišemo funkciju. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli za $x=x_0 ,$ oba sadrže zajednički činilac koji je nula u $x_0$ (kod polinoma to je $x-x_0$ ). Taj činilac skratimo — to smemo, jer kod granične vrednosti uvek važi $x\neq x_0 ,$ pa činilac nije nula — i zatim ponovo uvrstimo $x_0 .$

Uvrštavanjem $x=1 :$ brojilac $1-3+2=0 ,$ imenilac $0 .$ Pošto je $1$ nula brojioca, on je deljiv sa $x-1 .$ Rastavljamo ga dodavanjem i oduzimanjem, tj. grupisanjem ( $-3x=-x-2x$ ):

x^3-3x+2=x^3-x-2x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x^2+x-2)

Trinom $x^2+x-2$ ima nule $1$ i $-2$ (zbir $-1 ,$ proizvod $-2$ ), pa je:

x^3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)

Skraćujemo $(x-1)^2$ i uvrštavamo $x=1 :$

\lim_{x\to1}\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2}=\lim_{x\to1}(x+2)=3

Provera brojevima, blizu tačke $1$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}999:\ f(x)\approx2{,}999 \\ x=1{,}001:\ f(x)\approx3{,}001\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{(x-1)^2}=3 .$

Započni učenje

Online časovi

121.ž

Beleške