5205. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo izraz „ $\frac00$ ”. To nije broj, već takozvani neodređeni izraz: odgovor može biti bilo šta, i moramo da transformišemo funkciju. Kada su i brojilac i imenilac jednaki nuli za $x=x_0 ,$ oba sadrže zajednički činilac koji je nula u $x_0$ (kod polinoma to je $x-x_0$ ). Taj činilac skratimo — to smemo, jer kod granične vrednosti uvek važi $x\neq x_0 ,$ pa činilac nije nula — i zatim ponovo uvrstimo $x_0 .$

Uvrštavanjem $x=-2 :$ brojilac $-8+12-4=0 ,$ imenilac $4+2-6=0 .$ U brojiocu najpre izvlačimo $x ,$ pa rastavljamo trinom (brojevi sa zbirom $-3$ i proizvodom $2$ su $-1$ i $-2$ ). U imeniocu: zbir $1 ,$ proizvod $-6 ,$ dakle $3$ i $-2 :$

x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2), \qquad x^2-x-6=(x-3)(x+2)

Skraćujemo $x+2$ i uvrštavamo $x=-2 :$

\lim_{x\to-2}\frac{x(x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\lim_{x\to-2}\frac{x(x+1)}{x-3}=\frac{(-2)(-1)}{-5}=-\frac25

Provera brojevima, blizu tačke $-2$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-2{,}001:\ f(x)\approx-0{,}4005 \\ x=-1{,}999:\ f(x)\approx-0{,}3995\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to-2}\frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}=-\frac25 .$

Započni učenje

Online časovi

121.d

Beleške