5228. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac00$ ”. Kada se u izrazu javljaju koreni, zajednički činilac koji pravi nulu „sakriven” je ispod korena. Izvlačimo ga racionalisanjem: množimo brojilac i imenilac istim izrazom tako da koreni nestanu. Koristimo formule $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ za kvadratne korene i $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 ,$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ za treće korene.

Uvrštavanjem $x=0$ dobijamo $\frac{1-1}{0} .$ Označimo $A=\sqrt[3]{1+x} ,$ $B=\sqrt[3]{1-x} .$ Iz formule $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ sledi da brojilac i imenilac treba pomnožiti sa $A^2+AB+B^2 :$

A-B=\frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}=\frac{(1+x)-(1-x)}{A^2+AB+B^2}=\frac{2x}{A^2+AB+B^2}

Delimo sa $x$ i skraćujemo. Kada $x\to0 ,$ onda $A\to1$ i $B\to1 ,$ pa je imenilac $A^2+AB+B^2\to1+1+1=3 :$

\lim_{x\to0}\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}=\frac{2}{3}

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx0{,}6667 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx0{,}6667\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\frac23 .$

Započni učenje

Online časovi

122.l

Beleške