5235. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Uvrštavanjem $x=a$ brojilac i imenilac postaju $0 .$ Označimo $u=\sqrt x$ i $v=\sqrt a .$ Tada je $x\sqrt x=u^2\cdot u=u^3$ i $a\sqrt a=v^3 ,$ pa je brojilac razlika kubova:

x\sqrt x-a\sqrt a=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

Imenilac je $u-v ,$ pa skraćujemo. Vraćamo $u^2=x ,$ $uv=\sqrt{ax} ,$ $v^2=a :$

\lim_{x\to a}\frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{u-v}=\lim_{x\to a}\left(x+\sqrt{ax}+a\right)=a+a+a=3a

Za $a=0$ (tada $x\to0$ sa pozitivne strane) izraz je $\frac{x\sqrt x}{\sqrt x}=x\to0 ,$ što se slaže sa formulom $3\cdot0=0 .$ Provera za $a=4 ,$ $x=4{,}01 :$ $\frac{4{,}01\sqrt{4{,}01}-8}{\sqrt{4{,}01}-2}\approx12{,}015 ,$ a formula daje $3\cdot4=12 .$

Rešenje: $\lim_{x\to a}\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=3a .$

Započni učenje

Online časovi

122.r

Beleške