5234. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac00$ ”. Kada se u izrazu javljaju koreni, zajednički činilac koji pravi nulu „sakriven” je ispod korena. Izvlačimo ga racionalisanjem: množimo brojilac i imenilac istim izrazom tako da koreni nestanu. Koristimo formule $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ za kvadratne korene i $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 ,$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ za treće korene.

Uvrštavanjem $x=-8 :$ brojilac $\sqrt9-3=0 ,$ imenilac $2+\sqrt[3]{-8}=2-2=0 .$ Racionališemo brojilac množenjem sa $\sqrt{1-x}+3 :$

\sqrt{1-x}-3=\frac{(1-x)-9}{\sqrt{1-x}+3}=\frac{-(x+8)}{\sqrt{1-x}+3}

Imenilac sa $B=\sqrt[3]x$ je $2+B$ ; množimo sa $4-2B+B^2 ,$ jer je $(2+B)(4-2B+B^2)=8+B^3 :$

2+\sqrt[3]x=\frac{8+x}{4-2\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}}

Delimo ova dva izraza; činilac $x+8$ se skraćuje. Kada $x\to-8 :$ $\sqrt[3]x\to-2 ,$ $\sqrt[3]{x^2}\to4 ,$ $\sqrt{1-x}\to3 :$

\lim_{x\to-8}\left(-\frac{4-2\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1-x}+3}\right)=-\frac{4+4+4}{3+3}=-2

Provera brojevima, blizu tačke $-8$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-8{,}001:\ f(x)\approx-2 \\ x=-7{,}999:\ f(x)\approx-2\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}=-2 .$

Započni učenje

Online časovi

122.p

Beleške