5251. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Množimo i delimo zagradu zbirom korena $\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x^3-1} :$

x^{\frac32}\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}\right)=\frac{x^{\frac32}\left((x^3+1)-(x^3-1)\right)}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x^3-1}}=\frac{2x^{\frac32}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x^3-1}}

Delimo brojilac i imenilac sa $x^{\frac32}=\sqrt{x^3}$ ; pod korenom je to deljenje sa $x^3 :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac1{x^3}}+\sqrt{1-\frac1{x^3}}}=\frac{2}{1+1}=1

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=2:\ f(x)\approx1{,}002 \\ x=5:\ f(x)\approx1 \\ x=10:\ f(x)\approx1\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}x^{\frac32}\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}\right)=1 .$

Započni učenje

Online časovi

124.đ

Beleške