3493. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve $x$ takve da važi: $\left|3x - \frac{2}{3}\right| > \frac{4}{3}$ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

\left|3x - \frac{2}{3}\right| = \begin{cases} 3x - \frac{2}{3}, & \text{za } 3x - \frac{2}{3} \ge 0 \\ -\left(3x - \frac{2}{3}\right), & \text{za } 3x - \frac{2}{3} < 0 \end{cases}

Uslov $3x - \frac{2}{3} \ge 0$ možemo uprostiti kako bismo dobili intervale za $x :$

3x - \frac{2}{3} \ge 0 \implies 3x \ge \frac{2}{3} \implies x \ge \frac{2}{9}

Sada rešavamo nejednačinu za prvi slučaj, kada je $x \ge \frac{2}{9} :$

3x - \frac{2}{3} > \frac{4}{3}

Rešavamo dobijenu nejednačinu prebacivanjem poznatih vrednosti na desnu stranu:

3x > \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \implies 3x > \frac{6}{3} \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}

Presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja $x \ge \frac{2}{9}$ daje nam prvi deo konačnog rešenja:

x \in \left(\frac{2}{3}, +\infty\right)

Zatim rešavamo nejednačinu za drugi slučaj, kada je $x < \frac{2}{9} :$

-\left(3x - \frac{2}{3}\right) > \frac{4}{3}

Množimo nejednačinu sa $-1$ (pri čemu se menja znak nejednakosti) i rešavamo po $x :$

3x - \frac{2}{3} < -\frac{4}{3} \implies 3x < -\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \implies 3x < -\frac{2}{3} \implies x < -\frac{2}{9}

Presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja $x < \frac{2}{9}$ daje nam drugi deo konačnog rešenja:

x \in \left(-\infty, -\frac{2}{9}\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba analizirana slučaja:

x \in \left(-\infty, -\frac{2}{9}\right) \cup \left(\frac{2}{3}, +\infty\right)

215.i