3500.

215.e

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi:

∣3−x∣⩽5|3 - x| \leqslant 5
REŠENJE ZADATKA

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz ∣3−x∣ |3 - x| definišemo na sledeći način:

∣3−x∣={3−x,za 3−x⩾0−(3−x),za 3−x<0|3 - x| = \begin{cases} 3 - x, & \text{za } 3 - x \geqslant 0 \\ -(3 - x), & \text{za } 3 - x < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova dobijamo dva slučaja za rešavanje:

∣3−x∣={3−x,za x⩽3x−3,za x>3|3 - x| = \begin{cases} 3 - x, & \text{za } x \leqslant 3 \\ x - 3, & \text{za } x > 3 \end{cases}

Prvi slučaj: Neka je x⩽3. x \leqslant 3 . Tada nejednačina postaje:

3−x⩽53 - x \leqslant 5

Rešavamo nejednačinu za prvi slučaj:

−x⩽5−3  ⟹  −x⩽2  ⟹  x⩾−2-x \leqslant 5 - 3 \implies -x \leqslant 2 \implies x \geqslant -2

Uzimajući u obzir početni uslov x⩽3, x \leqslant 3 , rešenje prvog slučaja je presek:

x∈[−2,3]x \in [-2, 3]

Drugi slučaj: Neka je x>3. x > 3 . Tada nejednačina postaje:

−(3−x)⩽5  ⟹  x−3⩽5-(3 - x) \leqslant 5 \implies x - 3 \leqslant 5

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

x⩽5+3  ⟹  x⩽8x \leqslant 5 + 3 \implies x \leqslant 8

Uzimajući u obzir uslov x>3, x > 3 , rešenje drugog slučaja je presek:

x∈(3,8]x \in (3, 8]

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja:

x∈[−2,3]∪(3,8]x \in [-2, 3] \cup (3, 8]

Spajanjem intervala dobijamo konačan skup rešenja:

x∈[−2,8]x \in [-2, 8]