Uređeno polje realnih brojeva

Brojevi koje svakodnevno koristimo pripadaju različitim skupovima: prirodnim, celim, racionalnim i iracionalnim brojevima. Svi oni zajedno čine skup realnih brojeva.

Realne brojeve možemo predstaviti tačkama na brojevnoj pravoj, a možemo ih i sabirati, oduzimati, množiti, deliti i međusobno upoređivati. Upravo zbog ovih osobina, realni brojevi imaju posebno uređenu strukturu koju nazivamo uređeno polje realnih brojeva.

U ovoj lekciji upoznaćemo se sa skupom realnih brojeva, njegovim podskupovima i osnovnim osobinama koje nam omogućavaju da sa realnim brojevima pravilno računamo i upoređujemo ih.

1. Skupovi brojeva

Realne brojeve gradimo postepeno, počevši od najjednostavnijih. Svako proširenje uvodi brojeve koji nedostaju da bi neka operacija uvek bila moguća.

Prirodni brojevi $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ : brojevi kojima brojimo.
Prošireni skup prirodnih brojeva $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ : prirodni brojevi zajedno sa nulom.
Celi brojevi $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ : dodajemo negativne brojeve da bi oduzimanje uvek bilo moguće.
Racionalni brojevi $\mathbb{Q}$ : svi brojevi oblika $\frac{p}{q}$ , gde su $p$ i $q$ celi brojevi i $q \neq 0$ . Dodajemo razlomke da bi deljenje bilo moguće.
Iracionalni brojevi $\mathbb{I}$ : brojevi koji se ne mogu zapisati kao razlomak, na primer $\sqrt{2}$ i $\pi$ .
Realni brojevi $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ : svi brojevi na brojevnoj pravoj.

Svaki od ovih skupova sadrži prethodni:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

a iracionalni brojevi čine onaj deo realnih koji nije racionalan.

2. Racionalni i iracionalni brojevi

Realne brojeve delimo na racionalne i iracionalne. Najlakše ih možemo razlikovati posmatrajući njihov decimalni zapis.

Racionalan broj ima decimalni zapis koji je ili konačan ili beskonačan periodičan. Kod beskonačnog periodičnog zapisa, jedna cifra ili grupa cifara ponavlja se neograničeno mnogo puta. Na primer:

$(0,5)$ – konačan decimalni zapis,
$(0,333\ldots)$ – periodičan decimalni zapis, sa periodom (3),
$(1,272727\ldots)$ – periodičan decimalni zapis, sa periodom (27).

Iracionalan broj ima beskonačan neperiodičan decimalni zapis. To znači da se cifre iza decimalnog zareza ne završavaju i ne ponavljaju u pravilnom obrascu. Na primer:

\sqrt{2}=1,414213562\ldots

Decimalni zapis broja $\sqrt{2}$ se nastavlja beskonačno, ali se nijedna cifra niti grupa cifara ne ponavlja kao period.

Dakle, osnovna razlika je:

racionalni brojevi → konačan ili beskonačan periodičan decimalni zapis

iracionalni brojevi → beskonačan neperiodičan decimalni zapis

Zato se svaki racionalan broj može zapisati kao razlomak (poglavlje 3), dok se za iracionalne najčešće dokazuje upravo da to nije moguće (poglavlje 4).

3. Racionalni brojevi

Svaki racionalan broj može se zapisati kao razlomak. Pokazujemo kako se to radi za konačne i za periodične decimalne brojeve.

Konačan decimalni broj. U brojilac upišemo cifre bez zareza, a u imenilac dekadnu jedinicu sa onoliko nula koliko ima decimalnih mesta, pa skratimo.

Zadatak. Napisati $0{,}58$ u obliku razlomka.

Rešenje.

Broj ima dve decimale, pa je imenilac $100$ :

$0{,}58 = \frac{58}{100}$

Skraćujemo razlomak sa $2$ :

$0{,}58 = \frac{29}{50}$

Periodičan decimalni broj. Broj označimo sa $x$ , pa ga pomnožimo stepenom broja $10$ tako da se posle oduzimanja beskonačni deo poništi.

Zadatak. Napisati $0{,}(45)$ u obliku razlomka.

Rešenje.

Označimo broj sa $x$ :

$x = 0{,}454545\ldots$

Period ima dve cifre, pa množimo sa $100$ da zarez preskoči tačno jedan period:

$100x = 45{,}454545\ldots$

Oduzimamo početnu jednačinu, čime beskonačni deo nestaje:

$100x - x = 45 \implies 99x = 45$

Izražavamo $x$ i skraćujemo:

$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$

Kada broj ima cifre i pre početka perioda, množimo ga dva puta: jednom da zarez dođe do početka perioda, a zatim da preskoči jedan pun period.

Zadatak. Napisati $0{,}2(3)$ u obliku razlomka.

Rešenje.

Označimo broj sa $x$ :

$x = 0{,}2333\ldots$

Množimo sa $10$ da zarez dođe do početka perioda:

$10x = 2{,}333\ldots$

Množimo sa $100$ da zarez preskoči i prvu cifru perioda:

$100x = 23{,}333\ldots$

Oduzimamo prvu jednačinu od druge:

$100x - 10x = 23 - 2 \implies 90x = 21$

Izražavamo $x$ i skraćujemo:

$x = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$

Kod broja sa ciframa ispred perioda množimo sa dva različita stepena broja $10$ . Prvi stepen zaustavlja zarez na početku perioda, drugi na kraju prvog perioda. Ako se to pobrka, beskonačni deo se ne poništi pri oduzimanju.

4. Iracionalni brojevi

Da je neki broj iracionalan dokazujemo svođenjem na protivrečnost: pretpostavimo suprotno, da je racionalan, pa iz toga izvedemo nemoguć zaključak.

Zadatak. Dokazati da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj.

Rešenje.

Pretpostavimo suprotno, da je $\sqrt{2}$ racionalan. Tada se može zapisati kao nesvodljiv razlomak $\frac{p}{q}$ , gde su $p$ i $q$ uzajamno prosti celi brojevi i $q \neq 0$ :

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Kvadriramo obe strane i množimo sa $q^2$ :

$2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$

Dakle $p^2$ je paran, pa je i $p$ paran. Zapišimo $p = 2k$ i zamenimo:

$(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$

Sada je i $q^2$ paran, pa je i $q$ paran. Ispada da su $p$ i $q$ oba parni, što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je razlomak nesvodljiv. Zbog te protivrečnosti, $\sqrt{2}$ je iracionalan. $\blacksquare$

Kod složenijih izraza cilj je isti: izraz dovedemo do nekog broja za koji već znamo da je iracionalan.

Zadatak. Dokazati da je $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$ iracionalan broj.

Rešenje.

Prvo racionališemo imenilac množeći i brojilac i imenilac sa $\sqrt{2} + 1$ :

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

Ostaje da dokažemo da je $\sqrt{2} + 1$ iracionalan. Pretpostavimo suprotno, da je jednak nekom racionalnom broju $r$ :

$\sqrt{2} + 1 = r \implies \sqrt{2} = r - 1$

Razlika dva racionalna broja je racionalan broj, pa bi i $\sqrt{2}$ bio racionalan. To je u suprotnosti sa već dokazanim da je $\sqrt{2}$ iracionalan. Zato je i $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$ iracionalan. $\blacksquare$

5. Operacije sabiranja i množenja

U skupu realnih brojeva sabiranje i množenje uvek su moguća i poštuju sledeća pravila (za sve $a, b, c \in \mathbb{R}$ ):

Komutativnost:
$a + b = b + a \quad$ i $\quad a \cdot b = b \cdot a$
Asocijativnost:
$(a + b) + c = a + (b + c)\quad$ i $\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Distributivnost:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Neutralni elementi:
$a + 0 = a\quad$ i $\quad a \cdot 1 = a$
Suprotni i recipročni broj:
$a + (-a) = 0\quad$ i $\quad a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$ (za $a \neq 0$ )
Negativni izložilac:
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\quad$ i $\quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Zadatak. Izračunati vrednost izraza $\left(-2\frac{1}{2}\right) + 5\frac{3}{4} - 3\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 6\frac{1}{2}$ .

Rešenje.

Komutativnost i asocijativnost dozvoljavaju da grupišemo sabirke sa istim imeniocem:

$\left(5\frac{3}{4} - 3\frac{3}{4}\right) + \left(-2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 6\frac{1}{2}\right)$

Računamo prvu zagradu:

$5\frac{3}{4} - 3\frac{3}{4} = 2$

Računamo drugu zagradu:

$-\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - \frac{13}{2} = \frac{-5 + 1 - 13}{2} = -\frac{17}{2}$

Sabiramo dobijene vrednosti:

$2 - \frac{17}{2} = \frac{4 - 17}{2} = -\frac{13}{2}$

Zadatak. Izračunati $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$ .

Rešenje.

Kod negativnog izložioca razlomak se prevrne, a izložilac postaje pozitivan:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}$

Stepenujemo brojilac i imenilac:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8}$

6. Apsolutna vrednost

Zamislimo brojevnu pravu. Svaki broj na njoj predstavlja određenu tačku, a između dve tačke možemo meriti rastojanje.

Apsolutna vrednost broja govori nam koliko je taj broj udaljen od nule. Pošto rastojanje ne može biti negativno, apsolutna vrednost je uvek veća ili jednaka nuli.

Apsolutnu vrednost broja $x$ zapisujemo kao $|x|$ i čitamo „apsolutna vrednost broja $x$ ".

Na primer:

$|5| = 5$

jer je broj $5$ udaljen $5$ jedinica od nule. Sa druge strane,

$|-5| = 5$

jer je i broj $-5$ udaljen $5$ jedinica od nule. Primećujemo da brojevi $5$ i $-5$ imaju istu apsolutnu vrednost, zato što se nalaze na istoj udaljenosti od nule, samo sa suprotnih strana.

Kako računamo apsolutnu vrednost? Ako je broj pozitivan ili jednak nuli, njegova apsolutna vrednost jednaka je samom broju:

$|x| = x, \qquad x \ge 0$

Ako je broj negativan, njegova apsolutna vrednost jednaka je njegovom suprotnom broju:

$|x| = -x, \qquad x < 0$

Zato važi:

$|7| = 7, \qquad |0| = 0, \qquad |-7| = 7$

Najvažnije je zapamtiti: apsolutna vrednost broja je njegovo rastojanje od nule na brojevnoj pravoj, pa je zbog toga uvek nenegativna.

Za $c > 0$ važe korisne veze:

$|A| = c \iff A = c \ \text{ ili } \ A = -c$
$|A| < c \iff -c < A < c$
$|A| > c \iff A < -c \ \text{ ili } \ A > c$

Zadatak. Rešiti jednačinu $|2x + 1| = 4$ .

Rešenje.

Izraz pod apsolutnom vrednošću može biti jednak $4$ ili $-4$ :

$2x + 1 = 4 \quad \text{ili} \quad 2x + 1 = -4$

Rešavamo obe jednačine:

$2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}, \qquad 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$

Rešenja su $x = \dfrac{3}{2}$ i $x = -\dfrac{5}{2}$ .

Zadatak. Rešiti nejednačinu $|x| \ge 2$ .

Rešenje.

Rastojanje broja $x$ od nule je bar $2$ , pa je $x$ levo od $-2$ ili desno od $2$ :

$x \le -2 \quad \text{ili} \quad x \ge 2$

Rešenje zapisujemo kao uniju intervala:

$x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

Realni brojevi

Uređeno polje realnih brojeva

Sadržaj

1. Skupovi brojeva

2. Racionalni i iracionalni brojevi

3. Racionalni brojevi

4. Iracionalni brojevi

5. Operacije sabiranja i množenja

6. Apsolutna vrednost