3499. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Koristeći definiciju apsolutne vrednosti realnog broja dokazati: $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} ,$ $b \neq 0 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo, podsetimo se definicije apsolutne vrednosti za bilo koji realan broj $x .$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Da bismo dokazali tvrđenje, razmotrićemo četiri moguća slučaja u zavisnosti od znaka brojeva $a$ i $b$ (gde je $b \neq 0$ ). Prvi slučaj: $a \ge 0$ i $b > 0 .$

\begin{aligned} |a| &= a \\ |b| &= b \\ \frac{a}{b} &\ge 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za prvi slučaj dobijamo:

\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Drugi slučaj: $a \ge 0$ i $b < 0 .$

\begin{aligned} |a| &= a \\ |b| &= -b \\ \frac{a}{b} &\le 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za drugi slučaj dobijamo:

\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Treći slučaj: $a < 0$ i $b > 0 .$

\begin{aligned} |a| &= -a \\ |b| &= b \\ \frac{a}{b} &< 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za treći slučaj dobijamo:

\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Četvrti slučaj: $a < 0$ i $b < 0 .$

\begin{aligned} |a| &= -a \\ |b| &= -b \\ \frac{a}{b} &> 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za četvrti slučaj dobijamo:

\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Pošto je jednakost $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ tačna u svim mogućim slučajevima, tvrđenje je u potpunosti dokazano.

\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

216.b