3499.

216.b

TEKST ZADATKA

Koristeći definiciju apsolutne vrednosti realnog broja dokazati: ∣ab∣=∣a∣∣b∣, \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} , b≠0. b \neq 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo, podsetimo se definicije apsolutne vrednosti za bilo koji realan broj x. x .

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Da bismo dokazali tvrđenje, razmotrićemo četiri moguća slučaja u zavisnosti od znaka brojeva a a i b b (gde je b≠0 b \neq 0 ). Prvi slučaj: a≥0 a \ge 0 i b>0. b > 0 .

∣a∣=a∣b∣=bab≥0  ⟹  ∣ab∣=ab\begin{aligned} |a| &= a \\ |b| &= b \\ \frac{a}{b} &\ge 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za prvi slučaj dobijamo:

∣a∣∣b∣=ab=∣ab∣\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Drugi slučaj: a≥0 a \ge 0 i b<0. b < 0 .

∣a∣=a∣b∣=−bab≤0  ⟹  ∣ab∣=−ab\begin{aligned} |a| &= a \\ |b| &= -b \\ \frac{a}{b} &\le 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za drugi slučaj dobijamo:

∣a∣∣b∣=a−b=−ab=∣ab∣\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Treći slučaj: a<0 a < 0 i b>0. b > 0 .

∣a∣=−a∣b∣=bab<0  ⟹  ∣ab∣=−ab\begin{aligned} |a| &= -a \\ |b| &= b \\ \frac{a}{b} &< 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za treći slučaj dobijamo:

∣a∣∣b∣=−ab=−ab=∣ab∣\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Četvrti slučaj: a<0 a < 0 i b<0. b < 0 .

∣a∣=−a∣b∣=−bab>0  ⟹  ∣ab∣=ab\begin{aligned} |a| &= -a \\ |b| &= -b \\ \frac{a}{b} &> 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u desnu stranu jednakosti za četvrti slučaj dobijamo:

∣a∣∣b∣=−a−b=ab=∣ab∣\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} = \left|\frac{a}{b}\right|

Pošto je jednakost ∣ab∣=∣a∣∣b∣ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} tačna u svim mogućim slučajevima, tvrđenje je u potpunosti dokazano.

∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}