3496. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve $x$ takve da važi: $\left|\frac{7}{2} - 3x\right| < \frac{1}{2}$

REŠENJE ZADATKA

Pre rešavanja, definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

\left|\frac{7}{2} - 3x\right| = \begin{cases} \frac{7}{2} - 3x, & \text{za } \frac{7}{2} - 3x \ge 0 \\ -\left(\frac{7}{2} - 3x\right), & \text{za } \frac{7}{2} - 3x < 0 \end{cases}

Nejednačinu sa apsolutnom vrednošću oblika $|A| < B$ (gde je $B > 0$ ) možemo rešiti postavljanjem dvostruke nejednačine $-B < A < B :$

-\frac{1}{2} < \frac{7}{2} - 3x < \frac{1}{2}

Oduzimamo $\frac{7}{2}$ od svih delova nejednačine kako bismo izolovali član sa $x :$

-\frac{1}{2} - \frac{7}{2} < -3x < \frac{1}{2} - \frac{7}{2}

Računamo vrednosti izraza na levoj i desnoj strani:

-\frac{8}{2} < -3x < -\frac{6}{2}

Pojednostavljujemo razlomke:

-4 < -3x < -3

Delimo celu nejednačinu sa $-3 .$ Pošto delimo negativnim brojem, smer znakova nejednakosti se menja:

\frac{-4}{-3} > x > \frac{-3}{-3}

Sređujemo izraze:

\frac{4}{3} > x > 1

Zapisujemo nejednačinu u standardnom obliku, od manjeg ka većem broju:

1 < x < \frac{4}{3}

Konačno rešenje zapisujemo u obliku intervala:

x \in \left(1, \frac{4}{3}\right)

215.z