3484. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve $x$ takve da važi: $|6 + 2x| = 8$ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } 6 + 2x \ge 0 \\ -(6 + 2x), & \text{za } 6 + 2x < 0 \end{cases}

Rešavanjem uslova $6 + 2x \ge 0$ i $6 + 2x < 0 ,$ dobijamo intervale za $x :$

|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } x \ge -3 \\ -6 - 2x, & \text{za } x < -3 \end{cases}

Prvi slučaj: za $x \ge -3$ oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom plus.

6 + 2x = 8

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

\begin{aligned} 2x &= 8 - 6 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada uslovu $x \ge -3 .$ Pošto je $1 \ge -3 ,$ ovo rešenje je validno.

x_1 = 1

Drugi slučaj: za $x < -3$ oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom minus.

-(6 + 2x) = 8

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

\begin{aligned} -6 - 2x &= 8 \\ -2x &= 8 + 6 \\ -2x &= 14 \\ x &= -7 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada uslovu $x < -3 .$ Pošto je $-7 < -3 ,$ i ovo rešenje je validno.

x_2 = -7

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \{-7, 1\}

215.g