3485. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve $x$ takve da važi: $||2x + 1| - 5| > 2 .$

REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, definišemo izraze sa apsolutnim vrednostima. Prvo definišemo spoljašnju apsolutnu vrednost:

||2x+1|-5| = \begin{cases} |2x+1|-5, & \text{za } |2x+1|-5 \ge 0 \\ -(|2x+1|-5), & \text{za } |2x+1|-5 < 0 \end{cases}

Zatim definišemo i unutrašnju apsolutnu vrednost:

|2x+1| = \begin{cases} 2x+1, & \text{za } 2x+1 \ge 0 \\ -(2x+1), & \text{za } 2x+1 < 0 \end{cases}

Zadatak možemo rešiti korišćenjem osobine apsolutne vrednosti: nejednačina oblika $|A| > B$ (gde je $B > 0$ ) ekvivalentna je uniji nejednačina $A < -B$ ili $A > B .$

|2x + 1| - 5 < -2 \quad \lor \quad |2x + 1| - 5 > 2

Rešavamo prvu nejednačinu. Dodajemo $5$ obema stranama:

|2x + 1| < 3

Primenjujemo osobinu apsolutne vrednosti za nejednačine oblika $|A| < B ,$ koja je ekvivalentna sa $-B < A < B :$

-3 < 2x + 1 < 3

Oduzimamo $1$ od svih delova nejednakosti:

-4 < 2x < 2

Delimo sa $2$ kako bismo dobili rešenje za prvi slučaj:

-2 < x < 1

Sada rešavamo drugu nejednačinu iz trećeg koraka. Dodajemo $5$ obema stranama:

|2x + 1| > 7

Ponovo primenjujemo osobinu za $|A| > B :$

2x + 1 < -7 \quad \lor \quad 2x + 1 > 7

Rešavamo prvu podnejednačinu. Oduzimamo $1$ i delimo sa $2 :$

2x < -8 \implies x < -4

Rešavamo drugu podnejednačinu. Oduzimamo $1$ i delimo sa $2 :$

2x > 6 \implies x > 3

Rešenje druge nejednačine je unija dobijenih intervala:

x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog slučaja:

x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 1) \cup (3, +\infty)

215.k