3486. Uređeno polje realnih brojeva

Pretpostavimo suprotno, da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak $x ,$ gde je $x \in \mathbb{Q} .$

x = \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}

Prebacimo $-\sqrt{10}$ na levu stranu jednakosti kako bismo lakše kvadrirali izraz.

x + \sqrt{10} = \sqrt{3} + \sqrt{7}

Kvadriramo obe strane jednakosti.

(x + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na obe strane.

x^2 + 2x\sqrt{10} + 10 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 7} + 7

Sređujemo dobijeni izraz.

x^2 + 2x\sqrt{10} + 10 = 10 + 2\sqrt{21}

Skraćujemo $10$ sa obe strane jednakosti.

x^2 + 2x\sqrt{10} = 2\sqrt{21}

Ponovo kvadriramo obe strane kako bismo eliminisali $\sqrt{21} .$

(x^2 + 2x\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{21})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu i kvadriramo desnu stranu.

(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2x\sqrt{10} + (2x\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 21

Sređujemo izraz.

x^4 + 4x^3\sqrt{10} + 40x^2 = 84

Grupisanjem članova izdvajamo sabirak koji sadrži $\sqrt{10}$ na jednu stranu.

4x^3\sqrt{10} = 84 - x^4 - 40x^2

Proveravamo da li je $x = 0 .$ Ako bi bilo $x = 0 ,$ imali bismo $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10} .$ Kvadriranjem ove jednakosti dobijamo $10 + 2\sqrt{21} = 10 ,$ odnosno $2\sqrt{21} = 0 ,$ što je netačno. Dakle, $x \neq 0 .$

x \neq 0

Pošto je $x \neq 0 ,$ možemo podeliti jednačinu sa $4x^3$ i izraziti $\sqrt{10} .$

\sqrt{10} = \frac{84 - x^4 - 40x^2}{4x^3}

Kako smo pretpostavili da je $x$ racionalan broj, izraz na desnoj strani jednakosti mora biti racionalan. Međutim, na levoj strani se nalazi $\sqrt{10}$ koji je iracionalan broj.

\sqrt{10} \notin \mathbb{Q}, \quad \frac{84 - x^4 - 40x^2}{4x^3} \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju (iracionalan broj jednak racionalnom). Prema tome, naša pretpostavka je pogrešna i polazni broj je iracionalan.

\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10} \notin \mathbb{Q}

213.b