3487.

213.g

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 1+3 \sqrt{1 + \sqrt{3}} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo suprotno, odnosno da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak nekom racionalnom broju r. r .

r=1+3,r∈Qr = \sqrt{1 + \sqrt{3}}, \quad r \in \mathbb{Q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena.

r2=1+3r^2 = 1 + \sqrt{3}

Izrazimo 3 \sqrt{3} preko ostalih članova.

3=r2−1\sqrt{3} = r^2 - 1

Pošto je r r racionalan broj, tada je i njegov kvadrat r2 r^2 racionalan broj. Razlika dva racionalna broja (r2 r^2 i 1 1 ) je takođe racionalan broj.

r2−1∈Qr^2 - 1 \in \mathbb{Q}

Iz ovoga bi sledilo da je i 3 \sqrt{3} racionalan broj, jer je jednak racionalnom izrazu.

3∈Q\sqrt{3} \in \mathbb{Q}

Međutim, poznato je da je 3 \sqrt{3} iracionalan broj. Dobili smo kontradikciju, što znači da je naša početna pretpostavka bila pogrešna i da je dati broj iracionalan.

1+3∉Q\sqrt{1 + \sqrt{3}} \notin \mathbb{Q}