3490.

213.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 2+3−5 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo suprotno, da je dati broj racionalan. Neka je on jednak nekom racionalnom broju r. r .

r=2+3−5,r∈Qr = \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}, \quad r \in \mathbb{Q}

Prvo ćemo proveriti da li r r može biti jednako nuli. Ako bi bilo r=0, r = 0 , imali bismo:

2+3−5=0\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} = 0

Prebacimo 5 \sqrt{5} na desnu stranu i kvadrirajmo jednačinu.

2+3=5(2+3)2=(5)22+26+3=55+26=5\begin{aligned} \sqrt{2} + \sqrt{3} &= \sqrt{5} \\ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 &= (\sqrt{5})^2 \\ 2 + 2\sqrt{6} + 3 &= 5 \\ 5 + 2\sqrt{6} &= 5 \end{aligned}

Sređivanjem dobijamo očiglednu kontradikciju, pa zaključujemo da je r≠0. r \neq 0 .

26=0  ⟹  6=02\sqrt{6} = 0 \implies \sqrt{6} = 0

Sada se vraćamo na početnu jednačinu i grupišemo članove tako da kvadriranjem eliminišemo što više korena.

r+5=2+3r + \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{3}

Kvadriramo obe strane jednačine.

(r+5)2=(2+3)2r2+2r5+5=2+26+3r2+2r5+5=5+26\begin{aligned} (r + \sqrt{5})^2 &= (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 \\ r^2 + 2r\sqrt{5} + 5 &= 2 + 2\sqrt{6} + 3 \\ r^2 + 2r\sqrt{5} + 5 &= 5 + 2\sqrt{6} \end{aligned}

Skratimo 5 5 sa obe strane.

r2+2r5=26r^2 + 2r\sqrt{5} = 2\sqrt{6}

Ponovo kvadriramo obe strane kako bismo eliminisali 6. \sqrt{6} .

(r2+2r5)2=(26)2(r2)2+2⋅r2⋅2r5+(2r5)2=4⋅6r4+4r35+20r2=24\begin{aligned} (r^2 + 2r\sqrt{5})^2 &= (2\sqrt{6})^2 \\ (r^2)^2 + 2 \cdot r^2 \cdot 2r\sqrt{5} + (2r\sqrt{5})^2 &= 4 \cdot 6 \\ r^4 + 4r^3\sqrt{5} + 20r^2 &= 24 \end{aligned}

Izrazimo 5 \sqrt{5} preko ostalih članova. Pošto smo dokazali da je r≠0, r \neq 0 , smemo da delimo sa 4r3. 4r^3 .

4r35=24−r4−20r25=24−r4−20r24r3\begin{aligned} 4r^3\sqrt{5} &= 24 - r^4 - 20r^2 \\ \sqrt{5} &= \frac{24 - r^4 - 20r^2}{4r^3} \end{aligned}

Pošto je r r racionalan broj, izraz na desnoj strani je takođe racionalan broj. Međutim, na levoj strani je 5, \sqrt{5} , za koji znamo da je iracionalan broj.

5∉Q,24−r4−20r24r3∈Q\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}, \quad \frac{24 - r^4 - 20r^2}{4r^3} \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju (iracionalan broj jednak racionalnom), što znači da je naša početna pretpostavka netačna. Dati broj je iracionalan.

2+3−5∉Q\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} \notin \mathbb{Q}