3490. Uređeno polje realnih brojeva

Pretpostavimo suprotno, da je dati broj racionalan. Neka je on jednak nekom racionalnom broju $r .$

r = \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}, \quad r \in \mathbb{Q}

Prvo ćemo proveriti da li $r$ može biti jednako nuli. Ako bi bilo $r = 0 ,$ imali bismo:

\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} = 0

Prebacimo $\sqrt{5}$ na desnu stranu i kvadrirajmo jednačinu.

\begin{aligned} \sqrt{2} + \sqrt{3} &= \sqrt{5} \\ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 &= (\sqrt{5})^2 \\ 2 + 2\sqrt{6} + 3 &= 5 \\ 5 + 2\sqrt{6} &= 5 \end{aligned}

Sređivanjem dobijamo očiglednu kontradikciju, pa zaključujemo da je $r \neq 0 .$

2\sqrt{6} = 0 \implies \sqrt{6} = 0

Sada se vraćamo na početnu jednačinu i grupišemo članove tako da kvadriranjem eliminišemo što više korena.

r + \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{3}

Kvadriramo obe strane jednačine.

\begin{aligned} (r + \sqrt{5})^2 &= (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 \\ r^2 + 2r\sqrt{5} + 5 &= 2 + 2\sqrt{6} + 3 \\ r^2 + 2r\sqrt{5} + 5 &= 5 + 2\sqrt{6} \end{aligned}

Skratimo $5$ sa obe strane.

r^2 + 2r\sqrt{5} = 2\sqrt{6}

Ponovo kvadriramo obe strane kako bismo eliminisali $\sqrt{6} .$

\begin{aligned} (r^2 + 2r\sqrt{5})^2 &= (2\sqrt{6})^2 \\ (r^2)^2 + 2 \cdot r^2 \cdot 2r\sqrt{5} + (2r\sqrt{5})^2 &= 4 \cdot 6 \\ r^4 + 4r^3\sqrt{5} + 20r^2 &= 24 \end{aligned}

Izrazimo $\sqrt{5}$ preko ostalih članova. Pošto smo dokazali da je $r \neq 0 ,$ smemo da delimo sa $4r^3 .$

\begin{aligned} 4r^3\sqrt{5} &= 24 - r^4 - 20r^2 \\ \sqrt{5} &= \frac{24 - r^4 - 20r^2}{4r^3} \end{aligned}

Pošto je $r$ racionalan broj, izraz na desnoj strani je takođe racionalan broj. Međutim, na levoj strani je $\sqrt{5} ,$ za koji znamo da je iracionalan broj.

\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}, \quad \frac{24 - r^4 - 20r^2}{4r^3} \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju (iracionalan broj jednak racionalnom), što znači da je naša početna pretpostavka netačna. Dati broj je iracionalan.

\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} \notin \mathbb{Q}

213.a