3491.

215.ž

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi:

∣2x−1∣>3|2x - 1| > 3
REŠENJE ZADATKA

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz ∣2x−1∣ |2x - 1| definišemo na sledeći način:

∣2x−1∣={2x−1,za 2x−1≥0−(2x−1),za 2x−1<0|2x - 1| = \begin{cases} 2x - 1, & \text{za } 2x - 1 \ge 0 \\ -(2x - 1), & \text{za } 2x - 1 < 0 \end{cases}

Rešavanjem nejednačina u uslovima, dobijamo pojednostavljen zapis:

∣2x−1∣={2x−1,za x≥12−2x+1,za x<12|2x - 1| = \begin{cases} 2x - 1, & \text{za } x \ge \frac{1}{2} \\ -2x + 1, & \text{za } x < \frac{1}{2} \end{cases}

Prvi slučaj: Pretpostavimo da je x≥12. x \ge \frac{1}{2} . Tada apsolutna vrednost ostaje ista, pa početna nejednačina postaje:

2x−1>32x - 1 > 3

Rešavamo dobijenu nejednačinu:

2x>4  ⟹  x>22x > 4 \implies x > 2

Tražimo presek dobijenog rešenja x>2 x > 2 i uslova prvog slučaja x≥12. x \ge \frac{1}{2} . Rešenje prvog slučaja je:

x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)

Drugi slučaj: Pretpostavimo da je x<12. x < \frac{1}{2} . Tada apsolutna vrednost menja znak, pa početna nejednačina postaje:

−2x+1>3-2x + 1 > 3

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

−2x>2  ⟹  x<−1-2x > 2 \implies x < -1

Tražimo presek dobijenog rešenja x<−1 x < -1 i uslova drugog slučaja x<12. x < \frac{1}{2} . Rešenje drugog slučaja je:

x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)

Konačno rešenje zadatka predstavlja uniju rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈(−∞,−1)∪(2,+∞)x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)