Nejednačina moduo od 2x minus 1 veće od 3

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz $|2x - 1|$ definišemo na sledeći način:

|2x - 1| = \begin{cases} 2x - 1, & \text{za } 2x - 1 \ge 0 \\ -(2x - 1), & \text{za } 2x - 1 < 0 \end{cases}

Rešavanjem nejednačina u uslovima, dobijamo pojednostavljen zapis:

|2x - 1| = \begin{cases} 2x - 1, & \text{za } x \ge \frac{1}{2} \\ -2x + 1, & \text{za } x < \frac{1}{2} \end{cases}

Prvi slučaj: Pretpostavimo da je $x \ge \frac{1}{2} .$ Tada apsolutna vrednost ostaje ista, pa početna nejednačina postaje:

2x - 1 > 3

Rešavamo dobijenu nejednačinu:

2x > 4 \implies x > 2

Tražimo presek dobijenog rešenja $x > 2$ i uslova prvog slučaja $x \ge \frac{1}{2} .$ Rešenje prvog slučaja je:

x \in (2, +\infty)

Drugi slučaj: Pretpostavimo da je $x < \frac{1}{2} .$ Tada apsolutna vrednost menja znak, pa početna nejednačina postaje:

-2x + 1 > 3

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

-2x > 2 \implies x < -1

Tražimo presek dobijenog rešenja $x < -1$ i uslova drugog slučaja $x < \frac{1}{2} .$ Rešenje drugog slučaja je:

x \in (-\infty, -1)

Konačno rešenje zadatka predstavlja uniju rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)

215.ž