3492.

212.g

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 5−2 \sqrt{5} - \sqrt{2} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak nekom racionalnom broju x. x .

x=5−2,x∈Qx = \sqrt{5} - \sqrt{2}, \quad x \in \mathbb{Q}

Kvadrirajmo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili korena.

x2=(5−2)2x^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2

Primenimo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani.

x2=(5)2−252+(2)2x^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2

Sredimo dobijeni izraz.

x2=5−210+2x^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2

Saberimo cele brojeve na desnoj strani.

x2=7−210x^2 = 7 - 2\sqrt{10}

Sada želimo da izrazimo 10 \sqrt{10} preko x. x . Prebacimo 210 2\sqrt{10} na levu stranu, a x2 x^2 na desnu stranu jednakosti.

210=7−x22\sqrt{10} = 7 - x^2

Podelimo celu jednačinu sa 2.

10=7−x22\sqrt{10} = \frac{7 - x^2}{2}

Analizirajmo dobijenu jednakost. Kako smo pretpostavili da je x x racionalan broj, tada je i njegov kvadrat x2 x^2 racionalan. Samim tim, i ceo izraz na desnoj strani predstavlja racionalan broj.

7−x22∈Q\frac{7 - x^2}{2} \in \mathbb{Q}

Sa druge strane, znamo da je 10 \sqrt{10} iracionalan broj, jer 10 nije potpun kvadrat.

10∉Q\sqrt{10} \notin \mathbb{Q}

Dobili smo da je iracionalan broj jednak racionalnom, što je nemoguće. Ova protivrečnost znači da je naša početna pretpostavka bila pogrešna, pa zaključujemo da je dati broj iracionalan.

5−2∉Q\sqrt{5} - \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}