3493.

215.i

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi: ∣3x−23∣>43 \left|3x - \frac{2}{3}\right| > \frac{4}{3} ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣3x−23∣={3x−23,za 3x−23≥0−(3x−23),za 3x−23<0\left|3x - \frac{2}{3}\right| = \begin{cases} 3x - \frac{2}{3}, & \text{za } 3x - \frac{2}{3} \ge 0 \\ -\left(3x - \frac{2}{3}\right), & \text{za } 3x - \frac{2}{3} < 0 \end{cases}

Uslov 3x−23≥0 3x - \frac{2}{3} \ge 0 možemo uprostiti kako bismo dobili intervale za x: x :

3x−23≥0  ⟹  3x≥23  ⟹  x≥293x - \frac{2}{3} \ge 0 \implies 3x \ge \frac{2}{3} \implies x \ge \frac{2}{9}

Sada rešavamo nejednačinu za prvi slučaj, kada je x≥29: x \ge \frac{2}{9} :

3x−23>433x - \frac{2}{3} > \frac{4}{3}

Rešavamo dobijenu nejednačinu prebacivanjem poznatih vrednosti na desnu stranu:

3x>43+23  ⟹  3x>63  ⟹  3x>2  ⟹  x>233x > \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \implies 3x > \frac{6}{3} \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}

Presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja x≥29 x \ge \frac{2}{9} daje nam prvi deo konačnog rešenja:

x∈(23,+∞)x \in \left(\frac{2}{3}, +\infty\right)

Zatim rešavamo nejednačinu za drugi slučaj, kada je x<29: x < \frac{2}{9} :

−(3x−23)>43-\left(3x - \frac{2}{3}\right) > \frac{4}{3}

Množimo nejednačinu sa −1 -1 (pri čemu se menja znak nejednakosti) i rešavamo po x: x :

3x−23<−43  ⟹  3x<−43+23  ⟹  3x<−23  ⟹  x<−293x - \frac{2}{3} < -\frac{4}{3} \implies 3x < -\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \implies 3x < -\frac{2}{3} \implies x < -\frac{2}{9}

Presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja x<29 x < \frac{2}{9} daje nam drugi deo konačnog rešenja:

x∈(−∞,−29)x \in \left(-\infty, -\frac{2}{9}\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba analizirana slučaja:

x∈(−∞,−29)∪(23,+∞)x \in \left(-\infty, -\frac{2}{9}\right) \cup \left(\frac{2}{3}, +\infty\right)