Dokaz da je koren 2 plus koren 3 iracionalan

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak nekom racionalnom broju $r .$

r = \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad r \in \mathbb{Q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili korena.

r^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani.

r^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2

Sređujemo dobijeni izraz.

r^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}

Sada izražavamo $\sqrt{6}$ iz ove jednačine.

2\sqrt{6} = r^2 - 5 \implies \sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}

Analiziramo dobijenu jednakost. Kako je $r$ racionalan broj, tada je i izraz na desnoj strani jednakosti takođe racionalan broj.

\frac{r^2 - 5}{2} \in \mathbb{Q}

Međutim, na levoj strani jednakosti se nalazi broj $\sqrt{6} ,$ za koji znamo da je iracionalan. Time smo dobili da je iracionalan broj jednak racionalnom, što predstavlja protivrečnost.

\sqrt{6} \notin \mathbb{Q}

Zbog dobijene protivrečnosti, zaključujemo da je naša početna pretpostavka bila pogrešna. Dakle, dati broj je iracionalan.

\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}

Započni učenje

Online časovi

212.v

Beleške