3504. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: $\sqrt{2}$ ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost (kontradikciju). Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj $\sqrt{2}$ racionalan. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka:

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

gde su $p$ i $q$ uzajamno prosti celi brojevi (nemaju zajedničkih delilaca osim 1) i $q \neq 0 .$ Kvadriramo obe strane jednakosti:

(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2

Sređivanjem dobijamo:

2 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem jednačine sa $q^2$ dobijamo:

p^2 = 2q^2

Kako je desna strana deljiva sa 2, zaključujemo da je $p^2$ paran broj. Kvadrat celog broja je paran ako i samo ako je i sam taj broj paran. Dakle, $p$ je paran broj i možemo ga zapisati kao:

p = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo $p = 2k$ u jednačinu $p^2 = 2q^2 :$

(2k)^2 = 2q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani:

4k^2 = 2q^2

Deljenjem jednačine sa 2 dobijamo:

2k^2 = q^2

Slično kao malopre, pošto je leva strana deljiva sa 2, sledi da je $q^2$ paran broj, što znači da je i $q$ paran broj.

q = 2m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i $p$ i $q$ parni brojevi, odnosno oba su deljiva sa 2. Ovo je u direktnoj protivrečnosti sa našom početnom pretpostavkom da su $p$ i $q$ uzajamno prosti brojevi (da je razlomak nesvodljiv).

Zbog dobijene kontradikcije, zaključujemo da je naša početna pretpostavka netačna. Dakle, broj $\sqrt{2}$ je iracionalan.

211.a