3505. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: $\sqrt{5}$ ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj $\sqrt{5}$ racionalan. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka $\frac{p}{q} ,$ gde su $p$ i $q$ uzajamno prosti celi brojevi i $q \neq 0 .$

\sqrt{5} = \frac{p}{q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili korena.

5 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem jednačine sa $q^2$ dobijamo izraz koji pokazuje vezu između $p^2$ i $q^2 .$

p^2 = 5q^2

Iz dobijene jednakosti vidimo da je $p^2$ deljivo sa 5. Pošto je 5 prost broj, to znači da i sam broj $p$ mora biti deljiv sa 5. Zato $p$ možemo zapisati pomoću celog broja $k :$

p = 5k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo $p = 5k$ u prethodnu jednačinu $p^2 = 5q^2 .$

(5k)^2 = 5q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani.

25k^2 = 5q^2

Deljenjem cele jednačine sa 5 dobijamo:

5k^2 = q^2

Iz ove jednakosti zaključujemo da je $q^2$ deljivo sa 5. Slično kao i za $p ,$ pošto je 5 prost broj, sledi da i $q$ mora biti deljivo sa 5.

q = 5m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i $p$ i $q$ deljivi sa 5. To znači da razlomak $\frac{p}{q}$ nije nesvodljiv, jer se može skratiti sa 5. Ovo je u direktnoj suprotnosti sa našom početnom pretpostavkom da su $p$ i $q$ uzajamno prosti brojevi.

Zbog dobijene protivrečnosti, zaključujemo da je naša početna pretpostavka netačna. Dakle, broj $\sqrt{5}$ ne može biti racionalan, čime je dokazano da je on iracionalan broj.

211.v