3506.

214.b

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da je:

13<∣x∣⩽3\frac{1}{3} < |x| \leqslant 3
REŠENJE ZADATKA

Da bismo rešili nejednačinu sa apsolutnom vrednošću, prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Prvi slučaj: pretpostavimo da je x≥0. x \ge 0 . Tada se oslobađamo apsolutne vrednosti bez promene znaka, pa nejednačina glasi:

13<x⩽3\frac{1}{3} < x \leqslant 3

S obzirom na to da su sve vrednosti iz ovog intervala veće od nule, uslov x≥0 x \ge 0 je ispunjen. Rešenje prvog slučaja je:

x∈(13,3]x \in \left( \frac{1}{3}, 3 \right]

Drugi slučaj: pretpostavimo da je x<0. x < 0 . Tada se oslobađamo apsolutne vrednosti uz promenu znaka, pa nejednačina glasi:

13<−x⩽3\frac{1}{3} < -x \leqslant 3

Množenjem cele nejednačine sa −1 -1 (pri čemu se smer znakova nejednakosti menja) dobijamo:

−13>x⩾−3-\frac{1}{3} > x \geqslant -3

Ovo možemo zapisati u standardnom redosledu:

−3⩽x<−13-3 \leqslant x < -\frac{1}{3}

S obzirom na to da su sve vrednosti iz ovog intervala manje od nule, uslov x<0 x < 0 je ispunjen. Rešenje drugog slučaja je:

x∈[−3,−13)x \in \left[ -3, -\frac{1}{3} \right)

Konačno rešenje dobijamo kao uniju rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈[−3,−13)∪(13,3]x \in \left[ -3, -\frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}, 3 \right]