3505.

211.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 5 \sqrt{5} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj 5 \sqrt{5} racionalan. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka pq, \frac{p}{q} , gde su p p i q q uzajamno prosti celi brojevi i q≠0. q \neq 0 .

5=pq\sqrt{5} = \frac{p}{q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili korena.

5=p2q25 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem jednačine sa q2 q^2 dobijamo izraz koji pokazuje vezu između p2 p^2 i q2. q^2 .

p2=5q2p^2 = 5q^2

Iz dobijene jednakosti vidimo da je p2 p^2 deljivo sa 5. Pošto je 5 prost broj, to znači da i sam broj p p mora biti deljiv sa 5. Zato p p možemo zapisati pomoću celog broja k: k :

p=5k,k∈Zp = 5k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo p=5k p = 5k u prethodnu jednačinu p2=5q2. p^2 = 5q^2 .

(5k)2=5q2(5k)^2 = 5q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani.

25k2=5q225k^2 = 5q^2

Deljenjem cele jednačine sa 5 dobijamo:

5k2=q25k^2 = q^2

Iz ove jednakosti zaključujemo da je q2 q^2 deljivo sa 5. Slično kao i za p, p , pošto je 5 prost broj, sledi da i q q mora biti deljivo sa 5.

q=5m,m∈Zq = 5m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i p p i q q deljivi sa 5. To znači da razlomak pq \frac{p}{q} nije nesvodljiv, jer se može skratiti sa 5. Ovo je u direktnoj suprotnosti sa našom početnom pretpostavkom da su p p i q q uzajamno prosti brojevi.

Zbog dobijene protivrečnosti, zaključujemo da je naša početna pretpostavka netačna. Dakle, broj 5 \sqrt{5} ne može biti racionalan, čime je dokazano da je on iracionalan broj.