3507.

215.b

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi:

∣2x+1∣=4|2x + 1| = 4
REŠENJE ZADATKA

Po definiciji apsolutne vrednosti, izraz pod apsolutnom vrednošću definišemo na sledeći način:

∣2x+1∣={2x+1,za 2x+1≥0−(2x+1),za 2x+1<0|2x + 1| = \begin{cases} 2x + 1, & \text{za } 2x + 1 \ge 0 \\ -(2x + 1), & \text{za } 2x + 1 < 0 \end{cases}

Kada rešimo nejednačine po x, x , dobijamo uslove za dva odvojena slučaja:

∣2x+1∣={2x+1,za x≥−12−2x−1,za x<−12|2x + 1| = \begin{cases} 2x + 1, & \text{za } x \ge -\frac{1}{2} \\ -2x - 1, & \text{za } x < -\frac{1}{2} \end{cases}

Slučaj 1: Pretpostavimo da je x≥−12. x \ge -\frac{1}{2} . Tada se apsolutna vrednost oslobađa bez promene znaka, pa jednačina glasi:

2x+1=42x + 1 = 4

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

2x=3  ⟹  x=322x = 3 \implies x = \frac{3}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava početni uslov x≥−12: x \ge -\frac{1}{2} :

32≥−12\frac{3}{2} \ge -\frac{1}{2}

Slučaj 2: Pretpostavimo da je x<−12. x < -\frac{1}{2} . Tada se apsolutna vrednost oslobađa sa promenjenim znakom, pa jednačina glasi:

−(2x+1)=4-(2x + 1) = 4

Rešavamo ovu linearnu jednačinu:

−2x−1=4  ⟹  −2x=5  ⟹  x=−52-2x - 1 = 4 \implies -2x = 5 \implies x = -\frac{5}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslov x<−12: x < -\frac{1}{2} :

−52<−12-\frac{5}{2} < -\frac{1}{2}

Pošto su oba rešenja tačna u svojim intervalima, konačan skup rešenja je unija ova dva rešenja:

x∈{−52,32}x \in \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right\}