3508.

215.v

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi:

∣3−5x∣=2|3 - 5x| = 2
REŠENJE ZADATKA

Pre rešavanja, definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

∣3−5x∣={3−5x,za 3−5x≥0−(3−5x),za 3−5x<0|3 - 5x| = \begin{cases} 3 - 5x, & \text{za } 3 - 5x \ge 0 \\ -(3 - 5x), & \text{za } 3 - 5x < 0 \end{cases}

Rešavanjem nejednačina u uslovima, dobijamo:

∣3−5x∣={3−5x,za x≤35−3+5x,za x>35|3 - 5x| = \begin{cases} 3 - 5x, & \text{za } x \le \frac{3}{5} \\ -3 + 5x, & \text{za } x > \frac{3}{5} \end{cases}

Prvi slučaj: pretpostavimo da je x≤35. x \le \frac{3}{5} . Tada jednačina glasi:

3−5x=23 - 5x = 2

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

−5x=2−3  ⟹  −5x=−1  ⟹  x=15-5x = 2 - 3 \implies -5x = -1 \implies x = \frac{1}{5}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu x≤35. x \le \frac{3}{5} . Pošto je uslov ispunjen, ovo je validno rešenje.

x1=15x_1 = \frac{1}{5}

Drugi slučaj: pretpostavimo da je x>35. x > \frac{3}{5} . Tada jednačina glasi:

−3+5x=2-3 + 5x = 2

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

5x=2+3  ⟹  5x=5  ⟹  x=15x = 2 + 3 \implies 5x = 5 \implies x = 1

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu x>35. x > \frac{3}{5} . Pošto je 1>35, 1 > \frac{3}{5} , uslov je ispunjen i ovo rešenje se prihvata.

x2=1x_2 = 1

Konačno rešenje predstavlja uniju rešenja iz oba slučaja.

x∈{15,1}x \in \left\{ \frac{1}{5}, 1 \right\}