3509. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: $\sqrt{3}$ ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, tj. da je $\sqrt{3}$ racionalan broj. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka $\frac{p}{q} ,$ gde su $p$ i $q$ uzajamno prosti celi brojevi i $q \neq 0 .$

\sqrt{3} = \frac{p}{q}

Kvadriramo obe strane jednačine.

3 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem sa $q^2$ dobijamo vezu između $p^2$ i $q^2 .$

p^2 = 3q^2

Iz ovoga sledi da je $p^2$ deljivo sa 3. Pošto je 3 prost broj, to znači da i $p$ mora biti deljivo sa 3. Zato $p$ možemo zapisati kao:

p = 3k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo $p = 3k$ u prethodnu jednačinu $p^2 = 3q^2 .$

(3k)^2 = 3q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani.

9k^2 = 3q^2

Deljenjem cele jednačine sa 3 dobijamo:

3k^2 = q^2

Ovo znači da je $q^2$ deljivo sa 3, pa samim tim i $q$ mora biti deljivo sa 3.

q = 3m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i $p$ i $q$ deljivi sa 3. To znači da oni imaju zajednički delilac 3, što je u kontradikciji sa našom početnom pretpostavkom da su $p$ i $q$ uzajamno prosti brojevi (da je razlomak nesvodljiv).

Zbog dobijene protivrečnosti, naša početna pretpostavka je netačna, pa zaključujemo da je $\sqrt{3}$ iracionalan broj.

211.b