Dokaz da je 1 kroz koren 2 minus 1 iracionalan

Prvo, racionališimo imenilac datog razlomka. Množimo brojilac i imenilac sa konjugovanim izrazom imenioca, odnosno sa $\sqrt{2} + 1 .$

\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .$

\frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Računamo vrednost u imeniocu i uprošćavamo izraz.

\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1

Sada treba dokazati da je dobijeni broj $\sqrt{2} + 1$ iracionalan. Pretpostavimo suprotno, tj. da je on racionalan broj i označimo ga sa $r .$

\sqrt{2} + 1 = r, \quad r \in \mathbb{Q}

Izrazimo $\sqrt{2}$ iz ove jednačine.

\sqrt{2} = r - 1

Pošto je $r$ racionalan broj, i $1$ je racionalan broj, njihova razlika $r - 1$ mora biti racionalan broj. Međutim, poznato je da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj.

\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \quad \text{i} \quad (r - 1) \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju jer iracionalan broj ne može biti jednak racionalnom broju. Time je dokazano da je početni broj iracionalan.

\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \notin \mathbb{Q}

Započni učenje

Online časovi

212.d

Beleške