215.j

Kada rešavamo nejednačine sa apsolutnim vrednostima, prvo definišemo izraze pod apsolutnom vrednošću. Počinjemo sa unutrašnjom apsolutnom vrednošću $|x| .$

Zatim definišemo i spoljašnju apsolutnu vrednost $||x| - 1| .$

Rešavamo zadatak razdvajanjem na slučajeve na osnovu definicije unutrašnje apsolutne vrednosti. Prvi glavni slučaj je kada je $x \ge 0 .$

Zamenjujemo $|x|$ sa $x$ u početnoj nejednačini.

Definišemo novu apsolutnu vrednost koja se pojavila u prvom slučaju.

Podslučaj 1.1: Kada je izraz pod apsolutnom vrednošću nenegativan.

U ovom podslučaju, apsolutna vrednost se oslobađa bez promene znaka, pa nejednačina postaje:

Rešenje podslučaja 1.1 je presek uslova podslučaja ($x \ge 1$) i dobijenog rešenja ($x \leqslant 3$).

Podslučaj 1.2: Kada je izraz pod apsolutnom vrednošću negativan.

U ovom podslučaju, apsolutna vrednost se oslobađa sa promenjenim znakom:

Rešenje podslučaja 1.2 je presek uslova prvog glavnog slučaja ($x \ge 0$), uslova podslučaja 1.2 ($x < 1$) i dobijenog rešenja ($x \ge -1$).

Ukupno rešenje za prvi glavni slučaj ($x \ge 0$) je unija rešenja podslučajeva 1.1 i 1.2.

Sada prelazimo na drugi glavni slučaj, kada je $x < 0 .$

Zamenjujemo $|x|$ sa $-x$ u početnoj nejednačini. Koristimo osobinu da je $|-A| = |A| .$

Definišemo novu apsolutnu vrednost koja se pojavila u drugom slučaju.

Podslučaj 2.1: Kada je izraz pod apsolutnom vrednošću nenegativan.

U ovom podslučaju, nejednačina postaje:

Rešenje podslučaja 2.1 je presek uslova drugog glavnog slučaja ($x < 0$), uslova podslučaja 2.1 ($x \ge -1$) i dobijenog rešenja ($x \leqslant 1$).

Podslučaj 2.2: Kada je izraz pod apsolutnom vrednošću negativan.

U ovom podslučaju, nejednačina postaje:

Rešenje podslučaja 2.2 je presek uslova drugog glavnog slučaja ($x < 0$), uslova podslučaja 2.2 ($x < -1$) i dobijenog rešenja ($x \ge -3$).

Ukupno rešenje za drugi glavni slučaj ($x < 0$) je unija rešenja podslučajeva 2.1 i 2.2.

Konačno rešenje zadatka je unija rešenja prvog i drugog glavnog slučaja.