3448. Uređeno polje realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Napisati u obliku razlomka sledeći beskonačni periodični decimalni broj: $0,(142857) .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo dati broj označiti sa $x .$ Zapis $0,(142857)$ znači da se blok cifara $142857$ neprestano ponavlja.

x = 0,142857142857142857...

Pošto period ponavljanja ima 6 cifara, pomnožićemo obe strane jednačine sa $10^6 ,$ odnosno sa $1\,000\,000 ,$ kako bismo pomerili decimalni zarez za jedan ceo period udesno.

1\,000\,000x = 142857,142857142857...

Sada ćemo od nove jednačine oduzeti početnu jednačinu $x = 0,142857...$ kako bismo eliminisali beskonačni decimalni deo.

1\,000\,000x - x = 142857,142857... - 0,142857...

Računamo razliku na obe strane.

999\,999x = 142857

Izražavamo $x$ kao razlomak.

x = \frac{142857}{999\,999}

Sada je potrebno skratiti dobijeni razlomak. Primetimo da je $999\,999 = 7 \cdot 142857 .$

x = \frac{142857 \div 142857}{999\,999 \div 142857} = \frac{1}{7}

Konačan rezultat u obliku razlomka je:

0,(142857) = \frac{1}{7}

206.ž